Mathématiques de base Exemples

\frac{y^{2} - 2 y - 8}{5 y^{3} - 3 y^{2}} \cdot \frac{25 y^{3} - 9 y}{4 y - 16}

$\frac{y^{2} - 2 y - 8}{5 y^{3} - 3 y^{2}} \cdot \frac{25 y^{3} - 9 y}{4 y - 16}$

Étape 1

Factorisez

y^{2} - 2 y - 8

$y^{2} - 2 y - 8$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.1

Étudiez la forme

x^{2} + b x + c

$x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est

c

$c$ et dont la somme est

b

$b$ . Dans ce cas, dont le produit est

- 8

$- 8$ et dont la somme est

- 2

$- 2$ .

- 4, 2

$- 4, 2$

Étape 1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

\frac{(y - 4) (y + 2)}{5 y^{3} - 3 y^{2}} \cdot \frac{25 y^{3} - 9 y}{4 y - 16}

$\frac{(y - 4) (y + 2)}{5 y^{3} - 3 y^{2}} \cdot \frac{25 y^{3} - 9 y}{4 y - 16}$

\frac{(y - 4) (y + 2)}{5 y^{3} - 3 y^{2}} \cdot \frac{25 y^{3} - 9 y}{4 y - 16}

$\frac{(y - 4) (y + 2)}{5 y^{3} - 3 y^{2}} \cdot \frac{25 y^{3} - 9 y}{4 y - 16}$

Étape 2

Factorisez

y^{2}

$y^{2}$ à partir de

5 y^{3} - 3 y^{2}

$5 y^{3} - 3 y^{2}$ .

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Étape 2.1

Factorisez

y^{2}

$y^{2}$ à partir de

5 y^{3}

$5 y^{3}$ .

\frac{(y - 4) (y + 2)}{y^{2} (5 y) - 3 y^{2}} \cdot \frac{25 y^{3} - 9 y}{4 y - 16}

$\frac{(y - 4) (y + 2)}{y^{2} (5 y) - 3 y^{2}} \cdot \frac{25 y^{3} - 9 y}{4 y - 16}$

Étape 2.2

Factorisez

y^{2}

$y^{2}$ à partir de

- 3 y^{2}

$- 3 y^{2}$ .

\frac{(y - 4) (y + 2)}{y^{2} (5 y) + y^{2} \cdot - 3} \cdot \frac{25 y^{3} - 9 y}{4 y - 16}

$\frac{(y - 4) (y + 2)}{y^{2} (5 y) + y^{2} \cdot - 3} \cdot \frac{25 y^{3} - 9 y}{4 y - 16}$

Étape 2.3

Factorisez

y^{2}

$y^{2}$ à partir de

y^{2} (5 y) + y^{2} \cdot - 3

$y^{2} (5 y) + y^{2} \cdot - 3$ .

\frac{(y - 4) (y + 2)}{y^{2} (5 y - 3)} \cdot \frac{25 y^{3} - 9 y}{4 y - 16}

$\frac{(y - 4) (y + 2)}{y^{2} (5 y - 3)} \cdot \frac{25 y^{3} - 9 y}{4 y - 16}$

\frac{(y - 4) (y + 2)}{y^{2} (5 y - 3)} \cdot \frac{25 y^{3} - 9 y}{4 y - 16}

$\frac{(y - 4) (y + 2)}{y^{2} (5 y - 3)} \cdot \frac{25 y^{3} - 9 y}{4 y - 16}$

Étape 3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1

Factorisez

y

$y$ à partir de

25 y^{3} - 9 y

$25 y^{3} - 9 y$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez

y

$y$ à partir de

25 y^{3}

$25 y^{3}$ .

\frac{(y - 4) (y + 2)}{y^{2} (5 y - 3)} \cdot \frac{y (25 y^{2}) - 9 y}{4 y - 16}

$\frac{(y - 4) (y + 2)}{y^{2} (5 y - 3)} \cdot \frac{y (25 y^{2}) - 9 y}{4 y - 16}$

Étape 3.1.2

Factorisez

y

$y$ à partir de

- 9 y

$- 9 y$ .

\frac{(y - 4) (y + 2)}{y^{2} (5 y - 3)} \cdot \frac{y (25 y^{2}) + y \cdot - 9}{4 y - 16}

$\frac{(y - 4) (y + 2)}{y^{2} (5 y - 3)} \cdot \frac{y (25 y^{2}) + y \cdot - 9}{4 y - 16}$

Étape 3.1.3

Factorisez

y

$y$ à partir de

y (25 y^{2}) + y \cdot - 9

$y (25 y^{2}) + y \cdot - 9$ .

\frac{(y - 4) (y + 2)}{y^{2} (5 y - 3)} \cdot \frac{y (25 y^{2} - 9)}{4 y - 16}

$\frac{(y - 4) (y + 2)}{y^{2} (5 y - 3)} \cdot \frac{y (25 y^{2} - 9)}{4 y - 16}$

Étape 3.2

Réécrivez

$25 y^{2}$ comme

${(5 y)}^{2}$ .

$\frac{(y - 4) (y + 2)}{y^{2} (5 y - 3)} \cdot \frac{y ({(5 y)}^{2} - 9)}{4 y - 16}$

Étape 3.3

Réécrivez

$9$ comme

$3^{2}$ .

$\frac{(y - 4) (y + 2)}{y^{2} (5 y - 3)} \cdot \frac{y ({(5 y)}^{2} - 3^{2})}{4 y - 16}$

Étape 3.4

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés,

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où

$a = 5 y$ et

$b = 3$ .

$\frac{(y - 4) (y + 2)}{y^{2} (5 y - 3)} \cdot \frac{y (5 y + 3) (5 y - 3)}{4 y - 16}$

Étape 4

Simplifiez les termes.

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Étape 4.1

Factorisez

$4$ à partir de

$4 y - 16$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez

$4$ à partir de

$4 y$ .

$\frac{(y - 4) (y + 2)}{y^{2} (5 y - 3)} \cdot \frac{y (5 y + 3) (5 y - 3)}{4 (y) - 16}$

Étape 4.1.2

Factorisez

$4$ à partir de

$- 16$ .

$\frac{(y - 4) (y + 2)}{y^{2} (5 y - 3)} \cdot \frac{y (5 y + 3) (5 y - 3)}{4 y + 4 \cdot - 4}$

Étape 4.1.3

Factorisez

$4$ à partir de

$4 y + 4 \cdot - 4$ .

$\frac{(y - 4) (y + 2)}{y^{2} (5 y - 3)} \cdot \frac{y (5 y + 3) (5 y - 3)}{4 (y - 4)}$

Étape 4.2

Associez.

$\frac{(y - 4) (y + 2) (y (5 y + 3) (5 y - 3))}{y^{2} (5 y - 3) (4 (y - 4))}$

Étape 4.3

Annulez le facteur commun de

$y - 4$ .

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Étape 4.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(y - 4) (y + 2) (y (5 y + 3) (5 y - 3))}{y^{2} (5 y - 3) (4 (y - 4))}$

Étape 4.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(y + 2) (y (5 y + 3) (5 y - 3))}{y^{2} (5 y - 3) \cdot (4)}$

Étape 4.4

Annulez le facteur commun à

$y$ et

$y^{2}$ .

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Étape 4.4.1

Factorisez

$y$ à partir de

$(y + 2) (y (5 y + 3) (5 y - 3))$ .

$\frac{y ((y + 2) ((5 y + 3) (5 y - 3)))}{y^{2} (5 y - 3) \cdot (4)}$

Étape 4.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.4.2.1

Factorisez

$y$ à partir de

$y^{2} (5 y - 3) \cdot (4)$ .

$\frac{y ((y + 2) ((5 y + 3) (5 y - 3)))}{y ((y (5 y - 3)) \cdot 4)}$

Étape 4.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{y ((y + 2) ((5 y + 3) (5 y - 3)))}{y ((y (5 y - 3)) \cdot 4)}$

Étape 4.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{(y + 2) ((5 y + 3) (5 y - 3))}{(y (5 y - 3)) \cdot 4}$

Étape 4.5

Annulez le facteur commun de

$5 y - 3$ .

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Étape 4.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(y + 2) ((5 y + 3) (5 y - 3))}{y (5 y - 3) \cdot 4}$

Étape 4.5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(y + 2) (5 y + 3)}{(y) \cdot 4}$

Étape 4.6

Déplacez

$4$ à gauche de

$y$ .

$\frac{(y + 2) (5 y + 3)}{4 y}$